Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений

Системы счисления

Системой счисления именуется метод записи чисел с помощью ограниченного числа знаков (цифр).

Позиционные системы счисления

Позиционной системой счисления именуется система счисления, при которой число, связанное с цифрой, находится в зависимости от места, которое она занимает.

Позиционные системы счисления — это те системы счисления, в каких значение числа впрямую находится в зависимости Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений от её положения в числе. К примеру, число 01 обозначает единицу, 10 — 10.

Чем неплохи позиционные системы счисления? Тем, что они позволяют просто создавать арифметические расчёты. Попытайтесь считать используя, скажем, римские числа. Сколько будет ? То-то, а вот довольно представить эти числа арабскими цифрами и мы просто сможем посчитать в столбик .

Представление чисел при Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений помощи арабских цифр — самая распространённая позиционная система счисления, она именуется «десятичной системой счисления». Десятичной системой она именуется поэтому, что употребляет 10 цифр. Вот эти числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Пристально их перечтите — их ровно 10. Заметьте: наибольшая цифра (9) на единичку меньше количества цифр (10).

Компьютер, в отличие от человека, отлично разбирается в двоичной системе, он Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений употребляет числа: 0 и 1. Направьте внимание, что тут система двоичная, а наибольшая цифра 1.

Программеры пользуются, для упрощения для себя жизни, ещё восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления.

Количество цифр применяемых в системе счисления именуется «основанием». В десятичной системе основание равно 10, в двоичной системе основание равно двум, ну а в Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений восьмеричной и шестнадцатеричной соответственно восьми и шестнадцати. Другими словами в р-ичной системе счисления количество цифр равно р и употребляются числа от 0 до р-1.

В общем случае в позиционной системе счисления числа представляются последующим образом: (anan − 1...a0)f, где a0,a1,...,an — числа, а f — основание системы счисления. Если употребляется Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений десятичная система, то f — можно опустить.

Примеры чисел:

Зависимость плотности записи инфы от основания системы счисления

· Выражается функцией y Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений=(ln(x))/x. Функция имеет максимум при x=e=2,718281828… . Из целочисленных систем счисления большей плотностью записи инфы обладает троичная система счисления с основанием равным трём. Эту задачку решали ещё во времена Непера, в итоге для уменьшения таблиц и числа вычислений перебежали к таблицам натуральных логарифмов с основанием равным числу Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений Эйлера е=2,718281828… .

Преобразование чисел

Такое представление чисел обозначает вот такое число: anfn + ... + a1f1 + a0f0, где a0,a1,...,an — числа, а f — основание системы счисления. Поглядим, чему равны числа из примеров. Используем только-только приведённую формулу:

;

;

.

Мы разобрали, как выяснить, чему равно число в хоть какой Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений системе счисления. Но как нам получить это число? Представим, что у нас есть некое число A, и мы желаем получить его представление в системе по основанию f. Как нам это сделать?

Мы знаем, что число A можно представить в виде (anan − 1...a0)f, будем из этого исходить. Что будет, если мы поделим Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений это число на f. Получим

и остаток от деления a0. Почему a0? Все члены суммы делятся на f без остатка, а последний член a0 в итоге деления даёт 0 и a0 в остатке, потому что наибольшее значение числа всегда на единичку меньше основания системы.

Итак мы получили самую Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений правую цифру a0 как остаток от деления и число (anan − 1...a1)f как итог деления числа A на f. Если мы так будем продолжать разделять, то получим все числа a1,a2...an.

Возьмём для примера полюбившееся нам число 25 и получим представление этого числа в двоичной системе счисления:

25 / 2 = 12, остаток 1;

12 / 2 = 6, остаток 0;

6 / 2 = 3, остаток Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений 0;

3 / 2 = 1, остаток 1;

1 / 2 = 0, остаток 1.

Что и следовало ждать, получили: 110012.

Десятичная система счисления:

· 25 / 10 = 2, остаток 5;

· 2 / 10 = 0, остаток 2.

Итог: 2510.

Чтоб ещё лучше осознать перевод в разные системы счислений, поглядим, какие трансформации происходят снутри числа 456710.

Представим это число в виде

.

Поглядим, что у нас получится при поочередном делении на 10:

Представим число 25 в троичной системе счисления:

· 25 / 3 = 8, остаток 1;

· 8 / 3 = 2, остаток 2;

· 2 / 3 = 0, остаток 2.

Получили число: 2213.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений

Компьютерам очень комфортно оперировать двоичными числами, но люди не привыкли работать с Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений огромным количеством цифр. К примеру, чтоб представить в двоичном виде число 1234 будет нужно больше 10 двоичных цифр (10011010010). Потому были выдуманы восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений. Они комфортны, как и десятичные числа тем, что для представления числа требуется наименьшее количество разрядов. А по сопоставлению с десятичными числами, перевод в Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений двоичное представление очень обычный. Это будто бы мы двоичное число разбили на группы по три либо четыре разряда и каждой двоичной композиции выдумали значок.

Вот таблица для восьмеричных и шестнадцатеричных цифр:

Таблица для восьмеричных и шестнадцатеричных цифр
Двоичная композиция для восьмеричных цифр для шестнадцатеричных цифр
Значок Значок
A Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений
B
C
D
E
F

Для закрепления наших познаний проделаем вычисления для восьмеричной и десятичной систем счисления.

Восьмеричная система счисления:

25 / 8 = 3, остаток 1;

3 / 8 = 0, остаток 3.

Итог: 318.

Перевод произвести до боли просто, поглядим на примере числа 10011010010.

Разбиваем его на группы по три числа: 010 011 010 010. И по таблице переводим: 23228.

Чтоб перевести число в шестнадцатеричное представление Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений разбиваем двоичное число на группы по четыре числа: 0100 1101 0010. И по таблице переводим: 4D216.

В программистских кругах шестнадцатеричные числа принято предварять значком 0x (к примеру, 0x4D2), такое написание пошло от языка программирования C, или значком $ (к примеру, $4D2), такая нотация произошла от языка программирования Pascal. Время от времени в литературе употребляют буковкы Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений «h» и «b» для обозначения соответственно шестнадцатеричных и двоичных чисел (к примеру, FFh либо 1011b).

Вот таблица:

Степень Значение

Произведём оборотное преобразование. Чтоб конвертировать число в десятичном виде к двоичному, нам необходимо будет разделять всё время на два и глядеть на остаток от деления. Возьмём число 33.

http Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений://digital.sibsutis.ru/digital/SysSchis.htm - системы счисления

Запись случайного числа x в P-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена

x = anPn + an-1Pn-1 + ... + a1P1 + a0P0 + a-1P-1 + ... + a-mP-m

Примеры решения задач

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную:

а) 464(10); б) 380,1875(10); в Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений) 115,94(10) (получить 5 символов после запятой в двоичном представлении).

Решение.

464 | 0 380 | 0 |1875 115 | 1 |94

232 | 0 190 | 0 0|375 57 | 1 1|88

116 | 0 95 | 1 0|75 28 | 0 1|76

58 | 0 47 | 1 1|5 14 | 0 1|52

а) 29 | 1 б) 23 | 1 1|0 в) 7 | 1 1|04

14 | 0 11 | 1 3 | 1 0|08

7 | 1 5 | 1 1 | 1 0|16

3 | 1 2 | 0

1 | 1 1 | 1

а) 464(10) = 111010000(2); б) 380,1875(10) = 101111100,0011(2); в) 115,94(10) » 1110011,11110(2) (в реальном случае было получено 6 символов после запятой, после этого итог был округлен).


vospevaya-lyubov-k-rodine.html
vospitanie-bolnih-detej-11-glava.html
vospitanie-bolnih-detej-6-glava.html